*POLINOMIAL*
Matematika "POLINOMIAL"
A. Pengertian POLINOMIAL (POLINOM)
Polinomial merupakan persamaan suku banyak yang memiliki pangkat bilangan cacah yang tersusun dari yang terbesar dan memiliki persamaan,variabel,koefisien,dan ada operasi matematika.
Polinomial merupakan persamaan suku banyak yang memiliki pangkat bilangan cacah yang tersusun dari yang terbesar dan memiliki persamaan,variabel,koefisien,dan ada operasi matematika.
B. Ciri-ciri POLINOMIAl
1. Memiliki persamaan
2. Memiliki variabel
3. Memiliki koefisien
4. Memiliki pangkat >1 dan positif
5. Memiliki operasi Matematika
1. Memiliki persamaan
2. Memiliki variabel
3. Memiliki koefisien
4. Memiliki pangkat >1 dan positif
5. Memiliki operasi Matematika
C. Contoh POLINOMIAL
#Contoh POLINOMIAL
1) 3x²-3x-2
2) x³-4x+3
3) 6x⁴-7x³-9x²-x+4
#Contoh yang bukan POLINOMIAL
1) 3x-²+3x-8
2) 6x-¹-10x+9
3) 2⁴+5³-0
D. Operasi POLINOMIAL
f(x)=2x5+4x⁴+3x³-2x-6
g(x)= 3x5+5x²-x+3
#Contoh POLINOMIAL
1) 3x²-3x-2
2) x³-4x+3
3) 6x⁴-7x³-9x²-x+4
#Contoh yang bukan POLINOMIAL
1) 3x-²+3x-8
2) 6x-¹-10x+9
3) 2⁴+5³-0
D. Operasi POLINOMIAL
f(x)=2x5+4x⁴+3x³-2x-6
g(x)= 3x5+5x²-x+3
* Pertambahan f(x)+g(x)
Dik: f(x)=2x5+4x⁴+3x²-2x-6
g(x)= 3x5+5x²-x+3
Jawab
= (2x5+4x⁴+3x²-2x-6)+(3x5+5x²-x+7)
= 2x5+3x5+4x⁴+3x²+5x²-2x-x-6+3
= 5x5+4x⁴+8x²-3x-3
* Pengurangan f(x)-g(x)
Dik: f(x)=2x5+4x⁴+3x²-2x-6
g(x)= 3x5+5x²-x+3
Jawab
= (2x5+4x⁴+3x²-2x-6)-(3x5+5x²-x+3)
= 2x5+4x⁴+3x²-2x-6-3x5-5x²+x-3
= 2x5-3x5+4x⁴+3x²-5x²-2x+x-6-3
= -x5+4x⁴-2x²-x-9
* Perkalian f(x).g(x)
Dik: f(x)=2x5+4x⁴+3x³-2x-6
g(x)= 3x5+5x²-x+3
Jawab
= (2x5+4x⁴+3x³-2x-6).(3x5+5x²-x+3)
=6x10+10x7-2x6+6x5+12x9+20x6-4x5+ 12x⁴+9x7+15x⁴-3x³+9x²-6x6-10x³+2x²-6x-18x5-30x²-18
= 6x10+12x9+10x7+9x7-2x6+20x6-6x6+ 6x5-4x5-18x5+12x⁴+15x⁴-3x³-10x³-30x²+9x²+2x²-30x²-6x+6x-18
=6x10+12x9+19x7+12x6-16x5+27x⁴-13x³-49x²-18
* Pembagian
f(x)=x5+2x³+4x²+2x+4 : x-2
Jawab
X⁴+2x³+6x²+16x+34 =>hasil
_____________________
x-2/x5+0x⁴+2x³+4x²+2x+4
x5-2x⁴_________________-
2x⁴+2x³+4x²+2x+4
2x⁴-4x³______________-
6x³+4x²+2x+4
6x³-12x²__________-
16x²+2x+4
16x²-32x______-
34x+4
34x-68___-
|72 =>Sisa
E. Cara Menyelesaikan POLINOMIAL
Ada beberapa metode untuk menyesaikan polinomial diantaranya:
1. Metode Subtitusi
(Menggantikan nilai x)
Contoh:
f(x)=2x³-3x²+5x+1
x=2
Jawab
Dik: f(x)=2x³-3x²+5x+1
x=2
f(x)=2x³-3x²+5x+1
2=2(2)³-3(2)²+5(2)+1
=2(8)-3(4)+5(2)+1
=16-12+10+1
=15
f(x)=x5+2x³+4x²+2x+4 : x-2
Jawab
X⁴+2x³+6x²+16x+34 =>hasil
_____________________
x-2/x5+0x⁴+2x³+4x²+2x+4
x5-2x⁴_________________-
2x⁴+2x³+4x²+2x+4
2x⁴-4x³______________-
6x³+4x²+2x+4
6x³-12x²__________-
16x²+2x+4
16x²-32x______-
34x+4
34x-68___-
|72 =>Sisa
E. Cara Menyelesaikan POLINOMIAL
Ada beberapa metode untuk menyesaikan polinomial diantaranya:
1. Metode Subtitusi
(Menggantikan nilai x)
Contoh:
f(x)=2x³-3x²+5x+1
x=2
Jawab
Dik: f(x)=2x³-3x²+5x+1
x=2
f(x)=2x³-3x²+5x+1
2=2(2)³-3(2)²+5(2)+1
=2(8)-3(4)+5(2)+1
=16-12+10+1
=15
2. Metode HORNER
Cara: 1. Buat tabel HORNER
2. Masukkan nilai koefisien-
berurutan
3. Operasi Horner
Contoh
Dik f(x)= x5+2x³+4x²+2x+4. =>x-2
Jawab
Cara: 1. Buat tabel HORNER
2. Masukkan nilai koefisien-
berurutan
3. Operasi Horner
Contoh
Dik f(x)= x5+2x³+4x²+2x+4. =>x-2
Jawab
|1 0 2 4 2 4
|0 2 4 12 32 68
x-2<=2|________________________+
x=2 1 2 6 16 34 |72=> sisa
x⁴+2x³+6x²+16x+34 => hasil
x-2<=2|________________________+
x=2 1 2 6 16 34 |72=> sisa
x⁴+2x³+6x²+16x+34 => hasil
**Algoritma= (pembagi).(hasil)+(sisa)**
Maka Algoritmanya
=(x-2).(4x⁴+2x³+6x³+16x+34)+(72)
=(x-2).(4x⁴+2x³+6x³+16x+34)+(72)
Pembuktian Algoritma
x5+2x³+4x²+2x+4=(x-2).(x⁴+2x³+6x²+16x+34)+(72)
=x5+2x⁴+6x³+16x²+34x-2x⁴-4x³-12x²-32x-68+72
=x5+2x⁴-2x⁴+6x³-4x³+16x²-12x²+34x-32x-68+72
=x5+2x³+4x²+2x+4
#terbukti :-)
x5+2x³+4x²+2x+4=(x-2).(x⁴+2x³+6x²+16x+34)+(72)
=x5+2x⁴+6x³+16x²+34x-2x⁴-4x³-12x²-32x-68+72
=x5+2x⁴-2x⁴+6x³-4x³+16x²-12x²+34x-32x-68+72
=x5+2x³+4x²+2x+4
#terbukti :-)
TEOREMA SISA I
~Jika suku banyak f(x):(x-k) maka sisanya adalah f(x)~
Contoh:
F(x)=x⁴+3x³-2x²+x-5. : x-2
F(x)=x⁴+3x³-2x²+x-5. : x-2
Jawab
#Cara Horner
| 1 3 -2 1 -5
| 0 2 10 16 34
2|__________________ +
1 5 8 17 |29 => sisia
(X-2)(x³+5x²+8x+17)+(29)
#Cara Horner
| 1 3 -2 1 -5
| 0 2 10 16 34
2|__________________ +
1 5 8 17 |29 => sisia
(X-2)(x³+5x²+8x+17)+(29)
#Cara Bersusun
x³+5x²+8x+17 => hasil
________________
x-2/x⁴+3x³-2x²+x-5
x⁴-2x³__________-
5x³-2x²+x-5
5x³-10x²_____-
8x²+x-5
8x²-16x-5_-
17x-5
17x-34_-
|29 => Sisa
x³+5x²+8x+17 => hasil
________________
x-2/x⁴+3x³-2x²+x-5
x⁴-2x³__________-
5x³-2x²+x-5
5x³-10x²_____-
8x²+x-5
8x²-16x-5_-
17x-5
17x-34_-
|29 => Sisa
#Cara Subtitusi
f(x)= x⁴+3x³-2x²+x-5
f(k)= k⁴+3k³-2k²+k-5
Dik: k berdasarkan x-k yang nilainya x-2 maka nilai k= 2
Jawab
f(k)= k⁴+3k³-2k²+k-5
f(k)= 2⁴+3(2)³-2(2)²-(2)-5
= 16+24-8+2-5
= 29
f(x)= x⁴+3x³-2x²+x-5
f(k)= k⁴+3k³-2k²+k-5
Dik: k berdasarkan x-k yang nilainya x-2 maka nilai k= 2
Jawab
f(k)= k⁴+3k³-2k²+k-5
f(k)= 2⁴+3(2)³-2(2)²-(2)-5
= 16+24-8+2-5
= 29
TEOREMA SISA II
~Jika suatu suku banyak f(k):(ax-b) maka akan bersisa f(b:a)
~Jika suatu suku banyak f(k):(ax-b) maka akan bersisa f(b:a)
Contoh:
(X³+2x²-5x+3):(2x-1)
Dik: a=2
b=1
f(b:a)=f(½)
jawab
(X³+2x²-5x+3):(2x-1)
Dik: a=2
b=1
f(b:a)=f(½)
jawab
#Cara Subtitusi
f(x)=x³+2x²-5x+3
f(b/a)=(b/a)³+2(b/a)²-5(b/a)+3 f(½)=(½)³+2(½)²-5(½)+3 f(½)=⅛+2/4-5/2+3 =>samakan penyebut
f(½)=1+4-20+24 :8 =>sederhanakan
f(½)=9/8 =>sisa
f(b/a)=(b/a)³+2(b/a)²-5(b/a)+3 f(½)=(½)³+2(½)²-5(½)+3 f(½)=⅛+2/4-5/2+3 =>samakan penyebut
f(½)=1+4-20+24 :8 =>sederhanakan
f(½)=9/8 =>sisa
#Cara Horner
| 1 2 -5 3
| 0 ½ 5/4 -15/8
½ |_________________+
1 5/2 -15/4 |9/8 =>sisa
| 0 ½ 5/4 -15/8
½ |_________________+
1 5/2 -15/4 |9/8 =>sisa
#Cara Bersusun
½x²+5/4x-15/8 => hasil
_______________
x-1/x³+2x²-5x+3
x³-½x²_________-
5/2x²-5x+3
5/2x²-5/4x____-
-15/4x+3
-14/4x+15/8_-
|9/8 =>sisa
_______________
x-1/x³+2x²-5x+3
x³-½x²_________-
5/2x²-5x+3
5/2x²-5/4x____-
-15/4x+3
-14/4x+15/8_-
|9/8 =>sisa
TEOREMA SISA III
~Jika suatu suku banyak f(x)/(x-a)(x-b) maka bersisa f(x)+q
~Jika suatu suku banyak f(x)/(x-a)(x-b) maka bersisa f(x)+q
Contoh:
(X³-2x²+x-5):(x²-2x-3)
Jawab
(X³-2x²+x-5):(x²-2x-3)
Jawab
#Memfaktorkan
(Pembagi)<= x²-2x-3= (x-3)(x+1)
(x-a)(x-b)
Dik a=3
b=1
(x-a)(x-b)
Dik a=3
b=1
f(x)=x³-2x²+x-5
f(a)=a³-2(a)²+a-5
f(3)=(3)³-2(3)²+3-5
f(3)=27-18+3-5
f(3)=7
f(a)=a³-2(a)²+a-5
f(3)=(3)³-2(3)²+3-5
f(3)=27-18+3-5
f(3)=7
#f(b)=b³-2b²+b-5
f(-1)=(-1)³-2(-1)²+(-1)-5
f(-1)=-1-2-1-5
f(-1)=-9
f(-1)=(-1)³-2(-1)²+(-1)-5
f(-1)=-1-2-1-5
f(-1)=-9
#f(a)=p(a)+q
f(3)=p(3)+q
f(3)=3p+q
7=3p+q.........persamaan 1
f(3)=p(3)+q
f(3)=3p+q
7=3p+q.........persamaan 1
*f(b)=b³-2b²+b-5
f(-1)=(-1)³-2(-1)²-5
f(-1)=-1-2-1-5
f(-1)=-9
f(-1)=(-1)³-2(-1)²-5
f(-1)=-1-2-1-5
f(-1)=-9
*f(b)=p(b)+q
P(-1)=p(-1)+q
P(-1)=-p+q
-9=-p+q.............persamaan 2
P(-1)=p(-1)+q
P(-1)=-p+q
-9=-p+q.............persamaan 2
#metode Eliminasi
Persamaan 1&2
3p+q=7
-p+q=-9
_________-
4p =16
p=4
Persamaan 1&2
3p+q=7
-p+q=-9
_________-
4p =16
p=4
#Metode Subtitusi
Persamaan 1
3p+q=7
3(4)+q=7
12+q=7
q=7-12
q=-5
Persamaan 1
3p+q=7
3(4)+q=7
12+q=7
q=7-12
q=-5
•Jadi Teorema Sisa III
Px+q
4x+(-5)
Px+q
4x+(-5)
Pembuktian
__x_________
x²-2x-3/x³-2x²+x-5
x³-2x²-3x____-
|4x-5 => Terbukti :)
__x_________
x²-2x-3/x³-2x²+x-5
x³-2x²-3x____-
|4x-5 => Terbukti :)
(y)
BalasHapusP
BalasHapus